Question

等腰直角三角形ABC的斜边BC的长为8，直线MN∥BC且与AB、AC分别交于M、N，将△AMN沿直线MN翻折得△A′MN，设△A′MN与△ABC重合部分面积为y，MN=x，
（1）当A′在△ABC内部时，求y与x的函数关系式，并求x的取值范围；
（2）是否存在直线MN，使y的值为△ABC面积的

1

3

？若存在，求对应的x值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为A′在ABC的内部，所以△A′MN的面积既是△AMN的面积，从而利用等腰直角三角形的性质即可得出y与x的函数关系式．
（2）先计算△ABC的面积，分情况进行讨论：①当A′在BC边上或在△ABC内部时，0＜y≤4，根据（1）的函数关系式可作出判断；②当A′在△ABC外部时，求出梯形MNED的面积，结合题意可得出x的值，符合题意即存在，不符合则不存在．

解答：解：（1）y=S_△A′MN=

1

2

•

2

2

x•

2

2

x=

1

4

x²（0＜x＜4）；

（2）S_△ABC=

1

2

×8×4=16，当A′在BC上时，x=4，y=4，
∴①当A′在BC边上或在△ABC内部时，0＜y≤4，

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3

不在这个范围内，所以这时不存在直线MN．
②当A′在△ABC外部时，连AA′交MN于F，交BC于G，且A′F=AF=

1

2

x，
∴FG=4-

1

2

x，
∴A′G=

1

2

x-4+

1

2

x=x-4，
∴DE=2A′G=2x-8，
∴y=

1

2

（x+2x-8）×（4-

1

2

x）=-

3

4

x²+8x-16（其中4＜x＜8），
当y=

16

3

时，
∵-

3

4

x²+8x-16=

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3

，
即：（3x-16）²=0，
解为x₁=x₂=

16

3

，
∵4＜x＜8，
∴存在直线MN使重叠部分面积为△ABC面积的

1

3

，
此时x=

16

3

．

点评：本题考查翻折变换及等腰三角形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确的画出示意图，利用所学的知识表示出重叠的面积，要求同学们熟练基础知识的掌握，此类综合题一般要求对基础知识比较熟悉才能解答出来．