Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6、AC=8，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动，设BQ=x，QR=y。

（1）若B、K两点的坐标分别为（0，0）、（5，5），C点在x轴的正半轴上，求经过K、B、C三点的抛物线解析式；
（2）求点D到BC的距离DH的长；
（3）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（4）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）在Rt △ABC中，BC= ∴点C的坐标为（10，0）， 设经过K、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， 将点K（5，5）、B（0，0）、C（10，0）代入得 解得 ∴经过K、B、C三点的抛物线解析式为y=-+2x；
（2）∵点D为AB的中点， ∴BD=AB=3， ∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B， ∴△BHD∽△BAC， ∴ ∴；
（3）∵QR//AB， ∴ ∠QRC=∠A=90°， ∵∠C=∠C， ∴△RQC∽△ABC， ∴ ∴ ∴y关于x的函数关系式为y=；
（4）存在，分三种情况： ①如图（a），当PQ= PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM， ∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°， ∴cos∠1=cos∠C=， ∴， ∴ ∴， ②如图（b），当PQ=RQ时， ∴x=6， ③如图（c），当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点， ∴CR=CE=AC，AC=2， ∵tan∠C=， ∴ ∴ 综上，当x为或6或时， ∴△PQR为等腰三角形。