Question

如图，矩形AOBC在直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，0），直线y=

3

4

x与AC交于点D．有一动点P从O出发，沿线段OB以每秒2个单位长度的速度运动，当点P运动到点B时，点P停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△OEP为直角三角形？
（2）当t为何值时，△OEP为等腰三角形？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：根据待定系数法可求直线AB的解析式，再联立直线y=

3

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x和直线AB的解析式可得E点坐标．
（1）分①∠OPE=90°；②∠OEP=90°两种情况讨论即可求解；
（2）分①OP=EP；②OP=OE；③OE=PE三种情况讨论即可求解．

解答：解：设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，0）代入，依题意有

b=3 6k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=3

．
故直线AB的解析式为y=-

1

2

x+3．
联立直线y=

3

4

x和直线AB的解析式可得

y= 3 4 x y=- 1 2 x+3

，
解得

x=2.4 y=1.8

，
故E点坐标为（2.4，1.8）．
（1）①当∠OPE=90°时，OP=2.4，t=2.4÷2=1.2秒；
②当∠OEP=90°时，
设直线EP的解析式为y=-

4

3

x+b₁，
把E点坐标（2.4，1.8）代入得-

4

3

×2.4+b₁=1.8，
解得b₁=5．
故直线EP的解析式为y=-

4

3

x+5．
当y=0时，-

4

3

x+5=0，解得x=3.75，
即OP=3.75，t=3.75÷2=1.875秒．
故当t为1.2或1.875秒时，△OEP为直角三角形；

（2）①当OP=EP时，OE的垂直平分线的解析式为y=-

4

3

x+2.5．
当y=0时，-

4

3

x+2.5=0，解得x=1.875，
即OP=1.975，t=1.875÷2=0.9375秒；
②当OP=OE时，OP=OE=

2．42+1．82

=3，t=3÷2=1.5秒；
③当OE=PE时，OP=2.4×2=4.8，t=4.8÷2=2.4秒．
故当t为0.9375或1.5或2.4秒时，△OEP为等腰三角形．

点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，方程思想的应用，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．