Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线BD的垂直平分线分别与DC、AB、BD相交于点E、O、F，求证：四边形DFBE是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定

专题：证明题

分析：欲证明四边形DFBE是菱形，只需证得对角线EF与BD相互垂直平分即可．

解答：证明：∵EF是BD的垂直平分线，
∴EF⊥BD，0D=OB．
∵AB∥CD，
∴∠EDO=∠FBO．
在△DOE与△BOF中，

∠EOD=∠FOB OD=OB ∠EDO=∠FBO

，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴OE=OF
∵0D=OB
∴四边形DFBE是平行四边形．
∵EF⊥BD，
∴四边形DFBE是菱形．

点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质．对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．