Question

已知一元二次方程ax²+bx+c=0两根为x₁，x₂，x₂+x₁=-

b

a

，x₂．x₁=

c

a

．如果抛物线y=ax²+bx+c经过点（1，2），若abc=4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

分析：易知：b+c=2-a，bc=

4

a

，可将b、c看做是一元二次方程x²-（2-a）x+

4

a

=0的两实根，那么可根据△≥0，求得a的大致取值范围为a≥4．由于abc=4＞0，且a≥b≥c，则说明：
①a、b、c均大于0，由于a≥4，如果三数均为正数，显然a+b+c＞4≠2，因此不合题意．
②a正，b、c为负，那么此时|a|+|b|+|c|=a-（b+c）=a-（2-a）=2a-2，根据得出的a的取值范围，即可求出|a|+|b|+|c|的最小值．

解答：解：∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c=2矛盾，
∴a＞0；
∵b+c=2-a，bc=

4

a

，
∴b，c是一元二次方程x²-（2-a）x+

4

a

=0的两实根．
∴△=（2-a）²-4×

4

a

≥0，
∴a³-4a²+4a-16≥0，即（a²+4）（a-4）≥0，故a≥4．
∵abc＞0，
∴a，b，c为全大于0或一正二负．
①若a，b，c均大于0，
∵a≥4，与a+b+c=2矛盾；
②若a，b，c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0，
则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，
∵a≥4，
故2a-2≥6
当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使不等式等号成立．
故|a|+|b|+|c|的最小值为6．
故选B．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理的应用及不等式的相关知识．