Question

如图，△ABC是边长为12的等边三角形，P是AB上一动点，由A向B运动（与A、B点不重合），Q是BC延长线上一点，与点P同时以相同的速度由C向BC延长线方向运动（Q不与C点重合），过P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC于D．
（1）当∠APD=90°时，求AP的长．
（2）在点P、Q运动时，线段PD与线段QD相等吗？如果相等，给以证明；如不相等，说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：动点型

分析：（1）作PF∥BC交AC于F，由等边三角形的性质就可以得出△APF是等边三角形，△PFD≌△QCD，由直角三角形的性质就可以得出结论；
（2）作PF∥BC，根据等边三角形的性质就可以得出△PFD≌△QCD，就可以得出PD=QD而得出结论．

解答：解：（1）作PF∥BC交AC于F，
∴∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC．
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF=PF．
在△PFD和△QCD中

∠FPD=∠CQD PF=QC ∠PFD=∠QCD

∴△PFD≌△QCD（ASA），
∴FD=CD．
∵∠APD=90°，且∠A=60°
∴∠PDA=30°，
∴AD=2AP，
∴AD=2AF．
∵AF+FD=2AF，
∴FD=AF．
∴AF=FD=CD．
∴AF=

1

3

AC．
∵AC=12，
∴AF=4，
∴AP=4．
答：AP=4；
（2）PD=QD
理由：作PF∥BC，
∴∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC．
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF=PF．
在△PFD和△QCD中

∠FPD=∠CQD PF=QC ∠PFD=∠QCD

∴△PFD≌△QCD（ASA），
∴PD=QD．

点评：本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．