Question

【题目】问题提出：

（1）如图①，半圆O的直径AB=10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是　　　　．

问题探究：

（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值．

问题解决：

（3）如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）25；（2）四边形BEFG的周长的最小值为30；（3）四边形ABCD的周长最大值为12+4．

【解析】

（1）如图1，点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的高最大，即P'O=r=5，求出此时△P'AB的面积即可；

（2）如图2，作点G关于CD的对称点G′，作点B关于AD的对称点B′，连接B′G′，B′E，FG′，根据两点之间线段最短即可解决问题；

（3）如图3，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM＝DC，首先证明AC＝CD＋CB，再证明当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大．

（1）如图1，点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的高最大，即P'O=r=5，

此时△PAB的面积最大值，

∴S△P'AB10×5=25，

故答案为：25；

（2）如图2，作点G关于CD的对称点G'，作点B关于AD的对称点B'，连接B'G'，B'E，FG'，

∵EB=EB'，FG=FG'，

∴BE+EF+FG+BG=B'E+EF+FG'+BG，

∵EB'+EF+FG'≥B'G'，

∴四边形BEFG的周长的最小值=BG+B'G'，

∵BGBC=5，BB'=20，BG'=15，

∴B'G'25，

∴四边形BEFG的周长的最小值为30；

（3）如图3，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC，

∵∠DAB=60°，∠DCB=120°，

∴∠DAB+∠DCB=180°，

∴A、B、C、D四点共圆，

∵AD=AB，∠DAB=60°，

∴△ADB是等边三角形，

∴∠ABD=∠ADB=60°，

∴∠ACD=∠ADB=60°，

∵DM=DC，

∴△DMC是等边三角形，

∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，

∴∠ADM=∠BDC，

∵AD=BD，

∴△ADM≌△BDC(SAS)，

∴AM=BC，

∴AC=AM+MC=BC+CD，

∵四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC，

∵AD=AB=6，

∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，

∴当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大，

∵，

∴AC的最大值=4，

∴四边形ABCD的周长最大值为12+4．