Question

【题目】已知⊙O中，弦AB=AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PB、PA．

（Ⅰ）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，求证：点P、C、Q三点在同一直线上．

（Ⅱ）如图②，若∠BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系．

（Ⅲ）若∠BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）PA=PC+CQ=PC+PB；（Ⅲ）PB+PC=2×PA=PA．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连结PC，如图①，根据旋转的性质得∠ABP=∠ACQ，再根据圆内接四边形的性质得∠ABP+∠ACP=180°，则∠ACQ+∠ACP=180°，于是可判断点P、C、Q三点在同一直线上；

（Ⅱ）把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，如图②，则由①得点P、C、Q三点在同一直线上，根据旋转的性质得∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，PB=CQ，而∠BAP+∠PAC=60°，则∠PAC+∠CAQ=60°，即∠PAQ=60°，于是可判断△APQ为等边三角形，所以PQ=PA=PB+PC；

（Ⅲ）把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，如图③，由①得点P、C、Q三点在同一直线上，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，PB=CQ，由∠BAP+∠PAC=120°，得到∠PAC+∠CAQ=120°，即∠PAQ=120°，可计算出∠P=∠Q=30°，作AH⊥PQ，根据等腰三角形的性质得PH=QH，在Rt△APH中，利用余弦的定义得cos∠APH=cos30°==，则PH=PA，由于PQ=PC+CQ=PC+PB=2PH，所以得到PB+PC=PA．

（Ⅰ）证明：连结PC，如图①，

∵把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，

∴∠ABP=∠ACQ，

∵四边形ABPC为⊙O的内接四边形，

∴∠ABP+∠ACP=180°，

∴∠ACQ+∠ACP=180°，

∴点P、C、Q三点在同一直线上；

（Ⅱ）解：PA=PB+PC．理由如下：

把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，如图②，

由①得点P、C、Q三点在同一直线上，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，PB=CQ，

而∠BAC=60°，即∠BAP+∠PAC=60°，

∴∠PAC+∠CAQ=60°，即∠PAQ=60°，

∴△APQ为等边三角形，

∴PQ=PA，

∴PA=PC+CQ=PC+PB；

（Ⅲ）（2）中的结论不成立，PA、PB、PC之间的关系为PA=PB+PC．理由如下：

把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，如图③，

由①得点P、C、Q三点在同一直线上，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，PB=CQ，

而∠BAC=120°，即∠BAP+∠PAC=120°，

∴∠PAC+∠CAQ=120°，即∠PAQ=120°，

∴∠P=∠Q=30°，

作AH⊥PQ，则PH=QH，

在Rt△APH中，cos∠APH=cos30°==，

∴PH=PA，

而PQ=PC+CQ=PC+PB=2PH，

∴PB+PC=2×PA=PA．