Question

6．如图，正方形ABCD中，P为边AB上一动点，BF是∠ABC的外角平分线，Q是BF上一点，且PQ=DP，那么DP与PQ是否一定满足垂直关系？说明理由．

Answer 1

分析 根据题意，通过作辅助线构造出直角三角形；借助正方形的性质及勾股定理等知识判断出线段BE=FG，进而可以判断出△ABE≌△EGF，问题即可解决．

解答 解：过点Q作QG⊥AB于点G
设正方形的边长为a，AP=x，QG=y；
∵四边形ABCD为正方形，且BF为外角平分线，
∴∠FBG=45°，故∠BQG=∠GBQ=45°；
∴BG=QG=y，PG=a-x+y；
∵DP=PQ，
∴DP²=PQ²；
由勾股定理得：DP²=a²+x²，PQ²=（a-x+y）²+y²，
故a²+x²=（a-x+y）²+y²，
∵（a-x+y）²+y²=（a-x）²+2（a-x）y+y²+y²
=a²-2ax+x²+2ay-2xy+2y²
=a²+x²-2（x-y）（a+y）
∴a²+x²=a²+x²-2（x-y）（a+y）
∴2（x-y）（a+y）=0，
∵a+y＞0，
∴x-y=0，x=y
在Rt△DAP与Rt△PGQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=PQ}\\{AP=QG}\end{array}\right.$，
∴△DAP≌△PGQ（HL），
∴∠ADP=∠GPQ；
∵∠ADP+∠APD=90°，
∴∠APD+∠GPQ=90°，
∴∠DPQ=180°-90°=90°，
故DP⊥PQ．

点评 考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其应用等问题，解题的关键是准确把握题意，通过作辅助线构造出一对全等三角形，对综合运用能力提出了较高的要求．