分析 (1)类似“友好矩形”的定义,即可写出“友好平行四边形”的定义:
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”;
(2)根据定义,则分别让直角三角形的直角边或斜边当矩形的一边,过第三个顶点作它的对边,从而画出矩形.根据每个矩形和直角三角形的面积的关系,比较两个矩形的面积大小;
(3)分别以三角形的一边当矩形的另一边,过第三个顶点作矩形的对边,从而画出矩形,根据三角形和矩形的面积公式,可知三个矩形的面积相等,设矩形的面积是S,三角形的三条边分别是a,b,c.根据矩形的面积由其中一边表示出矩形的另一边,进一步求得其周长,运用求差法比较它们的周长的大小.
解答 解:(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2)此时共有2个友好矩形,如图的矩形BCAD、ABEF.
易知,矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍,
∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3)此时共有3个友好矩形,如图的矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK,
其中的矩形ABHK的周长最小.
证明如下:
易知,这三个矩形的面积相等,令其为S,设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1,L2,L3,
△ABC的边长BC=a,CA=b,AB=c,则:
L1=$\frac{2S}{a}$+2a,L2=$\frac{2S}{b}$+2b,L3=$\frac{2S}{c}$+2c,
∴L1-L2=($\frac{2S}{a}$+2a)-($\frac{2S}{b}$+2b)=-$\frac{2s}{ab}$(a-b)+2(a-b)=2(a-b)•$\frac{ab-s}{ab}$,
而ab>S,a>b,
∴L1-L2>0,即L1>L2,
同理可得,L2>L3,
∴L3最小,即矩形ABHK的周长最小.
点评 本题考查了矩形的性质,求矩形的周长,理解该题中的新定义,能够根据定义正确画出符合要求的图形,掌握三角形和矩形的面积公式,能够运用求差法比较数的大小.
科目:初中数学 来源:2017届广东省佛山市顺德区九年级第一次模拟考试数学试卷(解析版) 题型:单选题
在Rt△ABC中, ∠C=90°, , ,则∠A( )
A. B. C. D.
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