Question

某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）直接写出商场销售这种文具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为

 

；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润为2000元？
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元，请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据销量=250-10（x-25），列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出方程，进而求出即可；
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．

解答：解：（1）由题意得，销售量为：y=250-10（x-25）=-10x+500；

（2）由题意可得出：
2000=（x-20）（-10x+500），
整理得出：x²-70x+1200=0，
解得：x₁=30，x₂=40．
答：销售单价为30元或40元时，该文具每天的销售利润为2000元；

（3）A方案利润高．理由如下：
w=-10x²+700x-10000=-10（x-35）²+2250．
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=35时，w_max=2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
而A方案中：20＜x≤30，
故当x=30时，w有最大值，
此时w_A=2000；
B方案中：

-10x+500≥10 x-20≥25

，
故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w=-10（x-35）²+2250，对称轴为直线x=35，
∴当x=45时，w有最大值，
此时w_B=1250，
∵w_A＞w_B，
∴A方案利润更高．

点评：本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-

b

2a

时取得．