Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=30°，将AC绕着点A顺时针旋转60°得AE，连接BE，CE．

（1）求证：△ADC≌△ABE；

（2）求证：

（3）若AB=2，点Q在四边形ABCD内部运动，且满足，直接写出点Q运动路径的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）推出∠DAC=∠BAE，则可直接由SAS证明△ADC≌△ABE；

（2）证明△BCE是直角三角形，再证DC=BE，AC=CE即可推出结论；

（3）如图2，设Q为满足条件的点，将AQ绕着点A顺时针旋转60度得AF，连接QF，BF，QB，DQ，AF，证△ADQ≌△ABF，由勾股定理的逆定理证∠FBQ=90°，求出∠DQB=150°，确定点Q的路径为过B，D，C三点的圆上，求出的长即可．

（1）证明：∵∠CAE=∠DAB=60°，

∴∠CAE-∠CAB=∠DAB-∠CAB，

∴∠DAC=∠BAE，

又∵AD=AB，AC=AE，

∴△ADC≌△ABE（SAS）；

（2）证明：在四边形ABCD中，

∠ADC+∠ABC=360°-∠DAB-∠DCB=270°，

∵△ADC≌△ABE，

∴∠ADC=∠ABE，CD=BE，

∴∠ABC+ABE=∠ABC+∠ADC=270°，

∴∠CBE=360°-（∠ABC+ABE）=90°，

∴CE2=BE2+BC2，

又∵AC=AE，∠CAE=60°，

∴△ACE是等边三角形，

∴CE=AC=AE，

∴AC2=DC2+BC2；

（3）解：如图2，设Q为满足条件的点，将AQ绕着点A顺时针旋转60度得AF，连接QF，BF，QB，DQ，AF，

则∠DAQ=∠BAF，AQ=QF，△AQF为等边三角形，

又∵AD=AB，

∴△ADQ≌△ABF（SAS），

∴AQ=FQ，BF=DQ，

∵AQ2=BQ2+DQ2，

∴FQ2=BQ2+BF2，

∴∠FBQ=90°，

∴∠AFB+∠AQB=360°-（∠QAF+∠FBQ）=210°，

∴∠AQD+∠AQB=210°，

∴∠DQB=360°-（∠AQD+∠AQB）=150°，

∴点Q的路径为过B，D，C三点的圆上，

如图2，设圆心为O，则∠BOD=2∠DCB=60°，

连接DB，则△ODB与△ADB为等边三角形，

∴DO=DB=AB=2，

∴点Q运动的路径长为：．