Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，连结AD．

(1)求证：AD∥OC．

(2)小聪与小明在做这个题目的时候，对∠CDA与∠AOC之间的关系进行了探究：

小聪说，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值；

小明说，∠CDA+∠AOC的值随∠A度数的变化而变化.

若∠CDA+∠AOC的值为y，∠A度数为x．你认为他们之中谁说的是正确的?若你认为小聪说的正确，请你求出这个固定值：若你认为小明说的正确，请你求出y与x之间的关系．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值，270°.

【解析】

（1）连结OD，根据切线性质得∠ODC=∠OBC=90°，由全等三角形判定HL得Rt△ODC≌Rt△OBC，根据全等三角形性质得∠DOC=∠BOC，根据三角形内角和定理和平角得∠ODA+∠OAD=∠DOC+∠BOC，从而可得∠ODA=∠DOC，由平行线判定即可得证.

（2）小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值，理由如下：根据题意可得90°+x+∠AOC=y，即x+∠AOC=y-90°，由平行线性质得∠OAD+∠AOC=180°，即x+∠AOC=180°，两式联立可得90°+180°=y=270°.

解：(1)连结OD，如图：

，

∵ BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，

∴∠ODC=∠OBC=90°，

∵OD=OB，OC=OC，

∴Rt△ODC≌Rt△OBC(HL)，

∴∠DOC=∠BOC，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°，

∴∠ODA+∠OAD=∠DOC+∠BOC，

∴∠ODA=∠DOC，

∴AD∥CO.

(2)小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值，理由如下：

∵∠CDA+∠AOC=y，∠A=x，

∴∠ODA=∠OAD=x，∠ODC+∠ODA+∠AOC=y，

∵∠ODC=90°，

∴90°+x+∠AOC=y，

即x+∠AOC=y-90°，

∵AD∥CO，

∴∠OAD+∠AOC=180°，

即x+∠AOC=180°，

∴90°+180°=y，

即y=270°，

∴小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值.