【题目】如图1,内接于,点为中点,点在上,连接点是的中点,连结.
(1)求证:;
(2)如图2,若平分与交于点延长,与的延长线交于点求证:;
(3)在(2)的条件下,若,求的面积.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)面积为.
【解析】
(1)先根据圆周角定理的推论得出点O与M重合,然后利用等腰三角形的性质得出,即;
(2)首先证明,即可得出;
(3)首先利用三角形的中位线的性质得出,然后根据角平分线的定义得出进而有,然后证明,则有,然后通过证明得出,则,然后设, 在中,利用勾股定理求出x的值,从而可求出AB的长度,则圆的半径可求,最后利用圆的面积公式即可求解.
证明:如图1中,连接,
,点为中点,
是的直径,点与重合.
∵点是的中点,
.
,
,
即;
证明:如图2,
∵AB是直径,
,
.
在和中,
,
;
解:过点作于,
是的直径,
,
.
∵,
,
,
∴.
又∵AD平分,
,
,
.
,
,
,
.
在和中,
,
,
,
.
设,则,
.
在中,
,
,
,
解得或(舍去),
,
,
面积.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的垂直平分线上.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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【题目】定义:我们把关于某一点成中心对称的两条抛物线叫“孪生抛物线”;(1)已知抛物线L:y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于C点,求L关于坐标原点O(0,0)的“孪生抛物线”W;(2)点N为坐标平面内一点,且△BCN是以BC为斜边的等腰直角三角形,在x轴是否存在一点M(m,0),使抛物线L关于点M的“孪生抛物线”过点N,如果存在,求出M点坐标;不存在,说明理由.
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【题目】为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米;4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台型挖掘机一小时的施工费用为180元.
(1)分别求每台型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?
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【题目】如图,是直角三角形,.
(1)请用尺规作图法,作,使它与相切于点,与相交于点;保留作图痕迹,不写作法,请标明字母)
(2)在(1)的图中,若,,求弧的长.(结果保留)
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【题目】如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式;
②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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