如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？
（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）y=－x2－3x＋4，C（1，0）（2）当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（－2，6）（3）存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐标为
（
，3）或（
，3）或（
，2）或（
，2）
【解析】解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－4，0），B（0，4）。
∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，
∴
，解得 
。
∴抛物线解析式为y=－x2－3x＋4。
令y=0，得－x2－3x＋4=0，解得x1=－4，x2=1，
∴C（1，0）。
（2）如图1，
设D（t，0）。
∵OA=OB，∴∠BAO=45°。
∴E（t，t＋4），P（t，－t2－3t＋4）。
PE=yP－yE=－t2－3t＋4－t－4=－t2－4t=－（t+2）2+4。
∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（－2，6）。
（3）存在。如图2，过N点作NH⊥x轴于点H。
设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°。
∴NH=AH=4－m，∴yQ=4－m。
又M为OA中点，∴MH=2－m。
当△MON为等腰三角形时：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，∴yQ=4－m=3。
由－xQ2－3xQ＋4=3，解得
。
∴点Q坐标为（，3）或（，3）。
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN2=NH2＋MH2，即22=（4－m）2＋（2－m）2，
化简得m2－6m＋8=0，解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去）。
∴yQ=2，由－xQ2－3xQ＋4=2，解得
。
∴点Q坐标为（，2）或（，2）。
③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，
根据勾股定理得：ON2=NH2＋OH2，即22=（4－m）2＋m2，
化简得m2－4m＋6=0，∵△=－8＜0，
∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。
综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐标为
（，3）或（，3）或（，2）或（，2）。
（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标。
（2）求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值。
（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标。 “△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一讨论求解。
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．| BD |
| AB |
| 5 |
| 8 |
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科目：初中数学 来源： 题型：
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是| 5 |
| 29 |
| 5 |
| 29 |
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科目：初中数学 来源： 题型：
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=| k |
| x |
| k |
| x |
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科目：初中数学 来源： 题型：
∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．查看答案和解析>>
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如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为