Question

已知：如图△ABC中，∠ACB=90°，点E是边BC上一点，过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F，且EF=AF，以点E为圆心，EC长为半径作⊙E,交BC于点D．

（1）求证：直线AB是⊙E的切线；
（2）设直线AB和⊙E的公共点为G，AC=8，EF=5，连接EG，求⊙E的半径r．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）4.

试题分析：（1）本题考查切线的判定，要证某一条直线是圆的切线，已知此线过圆上的某点，连接圆心和该点，证垂直即可.如图，过点E作EG⊥AB于点G，连接EA，根据角平分线的性质得到EG=EC即可证得斜边AB是⊙E的切线；
（2）由（1）可知，直线AB与⊙O的公共点G为切点，由切线长定理可得：AG=AC=8．由EF=AF，EF=5，可得：FG=3，在Rt△FEG中由勾股定理易求GE的长度，即⊙E的半径r．
试题解析：
解：（1）过点E作EG⊥AB于点G，连接EA；
∵AF=EF，∠FEA+∠AEC=90°，∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠FEA=∠FAE．
∴∠FAE=∠EAC．
∴AE为角平分线．
∴EG=EC．
∴直线AB是⊙E的切线．

（2）由（1）可知，直线AB与⊙O的公共点G为切点，
∴EG=r，EG⊥AB．
∵∠ACB=90°，EC长为半径，
∴AC是⊙E的切线．
∴AG=AC=8．
∵EF=AF，EF=5，
∴AF=5．
∴FG=AG-AF=8-5=3，
在Rt△EFG中，根据勾股定理，得：
,
∴⊙E的半径r=4．