Question

如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，BC=8，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连接OD．
（1）求证：△OBC≌△ODC；
（2）若sin∠OCD=

3

5

，求直径AB的长．

Answer 1

分析：（1）切线的定义得出OD⊥CD，及∠ABC=90°，HL证明△OBC≌△ODC；
（2）根据切线的性质得及勾股定理求出OB的长，从而得出直径AB的长．

解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，AB为⊙O的直径，
又∵CD为⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥CD．
∵OC=OC，OD=OB，
∴△OBC≌△ODC．（4分）

（2）解：∵△OBC≌△ODC，
∴∠OCD=∠OCB．   （5分）
又∵sin∠OCD=

3

5

，
∴sin∠OCB=

3

5

．
即

OB

OC

=

3

5

（6分）
设OB=3k，OC=5k，
∵OB²+BC²=OC²
∴（3k）²+8²=（5k）²（7分）
∴k=2．   （9分）
∴直径AB=2OB=2•3k=12．   （10分）

点评：本题综合考查了切线的定义和性质，三角形全等的判定及勾股定理．