Question

已知直线l：y=2x+3，点A（1，1），求直线l绕点A旋转180°后的直线方程，并求点A到l的最小距离．

Answer 1

考点：一次函数图象与几何变换

专题：

分析：首先根据题意得出直线l：y=2x+3，点A（1，1），绕点A旋转180°后的图象上点的坐标，进而求出解析式，再利用三角形面积求出A到l的最小距离．

解答：解：∵直线l：y=2x+3，点A（1，1），绕点A旋转180°，
∴直线l过点（0，3），（-2，0），且旋转后解析式为：y=ax+b，
∴（0，3）关于A（1，1）对称点为：（2，-1），（-2，0）关于A（1，1）对称点为：（4，2），
∴

2a+b=-1 4a+b=2

，
解得：

a= 3 2 b=-4

，
∴直线l绕点A旋转180°后的直线方程为：y=

3

2

x-4，
过点A作AE⊥CD于点E，CD=

DO2+CO2

=

13

，
将A（1，1），D（-2，0），代入y=kx+c得：

-2k+c=0 k+c=1

，
解得：

k= 1 3 c= 2 3

，
∴直线AD的解析式为：y=

1

3

x+

2

3

，
∴F点坐标为；（0，

2

3

），则FO=

2

3

，
∴CF=3-

2

3

=

7

3

，
∴S_△ACF+S_△CDF=

1

2

×1×

7

3

+

1

2

×

7

3

×2=

7

2

，
∴

1

2

AE×CD=

7

2

，
∴

1

2

×

13

AE=

7

2

，
解得；AE=

7 13

13

，
即点A到l的最小距离为：

7 13

13

．

点评：此题主要考查了三角形面积求法以及待定系数法求一次函数解析式等知识，根据数形结合得出函数图象上点的坐标是解题关键．