Question

14．如图，已知直线AB和ED相交于点O（∠AOE为锐角），射线OC⊥AB于点O，OF平分∠BOE．
（1）求证：∠EOF-$\frac{1}{2}$∠COD=45°；
（2）若∠COD：∠DOF=4：25，过点O作射线OG，使∠GOF=$\frac{2}{5}$∠AOD，求∠BOG的度数．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义得出∠COD+∠DOB=90°，根据邻补角定义可知∠DOB=180°-∠BOE，由角平分线定义得出∠BOE=2∠EOF，于是∠COD+180°-2∠EOF=90°，整理变形即可得出∠EOF-$\frac{1}{2}$∠COD=45°；
（2）首先求出∠DOF=∠DOB+∠BOF=135°-$\frac{1}{2}$∠COD．再由∠COD：∠DOF=4：25，得到∠COD：（135°-$\frac{1}{2}$∠COD）=4：25，求出∠COD=20°，那么∠BOD=70°，∠BOF=55°，∠AOD=110°，∠GOF=$\frac{2}{5}$∠AOD=44°，进而得出∠BOG=55°+44°=99°，或∠BOG=55°-44°=11°．

解答 （1）证明：∵射线OC⊥AB于点O，
∴∠COD+∠DOB=90°，
∵∠DOB=180°-∠BOE，∠BOE=2∠EOF，
∴∠COD+180°-2∠EOF=90°，
∴2∠EOF-∠COD=90°，
∴∠EOF-$\frac{1}{2}$∠COD=45°；

（2）解：如图，∵∠EOF=45°+$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠EOB=90°+∠COD，
∠DOB=180°-∠EOB=90°-∠COD，
∠DOF=∠DOB+∠BOF=135°-$\frac{1}{2}$∠COD．
∵∠COD：∠DOF=4：25，
∴∠COD：（135°-$\frac{1}{2}$∠COD）=4：25，
∴∠COD=20°，
∴∠BOD=70°，∠BOF=55°，∠AOD=110°，∠GOF=$\frac{2}{5}$∠AOD=44°，
∴∠BOG=55°+44°=99°，或∠BOG=55°-44°=11°．

点评 本题考查了垂直的定义，对顶角、邻补角性质，角平分线定义，以及角度的计算，理解题意准确识图是解题的关键．