Question

由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖，某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台，并预付了5万元押金．他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元，但不高于40万元．若一年内该产品的售价y（万元/台）与月次x（1≤x≤12且为整数）满足关系式：y=，一年后发现实际每月的销售量p（台）与月次x之间存在如图所示的变化趋势．
（1）直接写出实际每月的销售量p（台）与月次x之间的函数关系式；
（2）求前三个月中每月的实际销售利润w（万元）与月次x之间的函数关系式；
（3）试判断全年哪一个月的售价最高，并指出最高售价；
（4）请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量．

Answer 1

解：（1）由题意得：
；

（2）w=（-0.05x+0.25-0.1）（-5x+40）
=（x-3）（x-8）
=
即w与x间的函数关系式w=；

（3）①当1≤x＜4时，y=-0.05x+0.25中y随x的增大而减小
∴x=1时，y_最大=0.2
②当4≤x≤6时，y=0.1万元，保持不变
③当6＜x≤12时，y=0.015x+0.01中y随x的增大而增大
∴x=12时，y_最大=0.015×12+0.01=0.19
综合得：全年1月份售价最高，最高为0.2万元/台；

（4）设全年计划销售量为a台，则：
34≤0.1a+5≤40
解得：290≤a≤350
∵全年的实际销售量为：35+30+25+20+22+24+26+28+30+32+34+36=342（台）＞290台
∴这一年他完成了年初计划的销售量．
分析：（1）要根据自变量的不同取值范围，运用待定系数法分段计算出p与x的函数关系式；
（2）可根据实际销售利润=单件的利润×销售的数量，然后根据题目中给出的售价与月次的函数式以及（1）中销售量与月次的关系式，得出实际销售利润与月次的函数关系式；
（3）要根据自变量的不同的取值范围分别进行讨论，然后找出最高售价；
（4）可根据“完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元，但不高于40万元”作为判断依据来计算出它能否完成年初的销售计划．
点评：本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，由此看来一次函数是常用的解答实际问题的数学模型，是中考的常见题型．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．