Question

已知AM平分∠BAC，AB=AC=10，cos∠BAM=

4

5

．点O为射线AM上的动点，以O为圆心，BO为半径画圆交直线AB于点E（不与点B重合）．
（1）如图（1），当点O为BC与AM的交点时，求BE的长；
（2）以点A为圆心，AO为半径画圆，如果⊙A与⊙O相切，求AO的长；
（3）试就点E在直线AB上相对于A、B两点的位置关系加以讨论，并指出相应的AO的取值范围；

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据AM平分∠BAC，AB=AC，由等腰三角形的性质可得出AM⊥BC，根据cos∠BAM=

4

5

，求得BO=6，AO=8，作OH⊥AE，因为O为圆心，则BH=EH，在Rt△BOH中，

BH

BO

=cosB，求得BH，从而得出BE的长．
（2）根据⊙A与⊙O相切，可得出⊙A与⊙O只可能相内切，且⊙A在⊙O的内部，则OB=2OA，设OA=x，则OB=2x，作 BP⊥AM，则AP=8，BP=6，OP=8-x，
在Rt△BPO中，根据勾股定理得出OP²+BP²=OB²，代入求得x即可．
（3）过AB中点作AB的垂线交AM于点O₁，可得AO₁=

25

4

，过B作AB的垂线交AM于点O₂，可得AO₂=

25

2

，分三种情况：①当0≤AO＜

25

4

时，点E在BA的延长线上；②当

25

4

≤AO＜

25

2

时，点E在线段AB上；③当AO＞

25

2

时，点E在AB的延长线上．

解答：解：（1）∵AM平分∠BAC，AB=AC，
∴AM⊥BC，
∵cos∠BAM=

4

5

，AB=10，
∴cos∠B=

3

5

，BO=6，AO=8，
作OH⊥AE，
∵O为圆心，
∴BH=EH，
在Rt△BOH中，

BH

BO

=cosB，
∴BH=6×

3

5

=

18

5

，
∴BE=2BH=

36

5

．
（2）∵⊙A与⊙O相切，AO为⊙A半径，
∴⊙A与⊙O只可能相内切，且⊙A在⊙O的内部，
∴OA=OB-OA，
∴OB=2OA，
设OA=x，则OB=2x，
作 BP⊥AM，则AP=8，BP=6，OP=8-x，
在Rt△BPO中，OP²+BP²=OB²，即（8-x）²+6²=4x²，
∴3x²+16x-100=0，
∴x=

-8±2 91

3

，（负舍），
∴OA=x=

-8+2 91

3

．
（3）过AB中点作AB的垂线交AM于点O₁，可得AO₁=

25

4

，
过B作AB的垂线交AM于点O₂，可得AO₂=

25

2

，
当0≤AO＜

25

4

时，点E在BA的延长线上；
当

25

4

≤AO＜

25

2

时，点E在线段AB上；
当AO＞

25

2

时，点E在AB的延长线上．

点评：本题考查了圆的综合知识，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理以及三角函数的定义，注意图形之间的联系．