Question

11．如图，△ABC与△DCE均为等边三角形，且B、C、E在同一直线上，分别连接BD、AE相交于点P，连接PC，求证：
（1）∠APB=60°．
（2）∠BPC=60°．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CBD，设AC与BP交于O点，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）过点C作CH，CK⊥PB，根据全等三角形的性质得到S_△ACE=S_△BCD，BD=AE，得到CH=CK，推出CP为∠BPC角平分线，设AC与BP交于点O，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABC与△DCE均为等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
则∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
设AC与BP交于O点，由∠AOP=∠BOC可得∠APO=∠BCO=60°，
即∠APB=60°；
（2）过点C作CH，CK⊥PB，
∵△ACE≌△BCD，
∴S_△ACE=S_△BCD，BD=AE，
∴CH=CK，
∵CH⊥AE，CK⊥PB，
∴CP为∠BPC角平分线，
设AC与BP交于点O，
∵∠AOP=∠BOC，∠EAC=∠PBC，
∴∠APB=∠ACB=60°，
∴∠BPC=$\frac{1}{2}$（180°-∠APB）=60°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．