【题目】如图1,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BDC=90°,AB=AD,∠DCB=60°,CD=8.
(1)若P是BD上一点,且PA=CD,求∠PAB的度数.
(2)①将图1中的△ABD绕点B顺时针旋转30°,点D落在边BC上的E处,AE交BD于点O,连接DE,如图2,求证:DE2=DODB;
②将图1中△ABD绕点B旋转α得到△A'BD'(A与A',D与D'是对应点),若CD'=CD,则cosα的值为 .
【答案】(1)∠P'AB=75°或15°(2)①见解析②
【解析】
(1)先解直角三角形BDC与直角三角形ABD,过点H作AH⊥BD于H,分点P在点H的左侧和右侧两种情况,分别解直角三角形即可;
(2)
①利用旋转的性质求出∠AEB=45°,∠DOE=∠DEB=75°,证△BDE∽△EDO即可;
②根据题意△ABD绕点B旋转α得到△A'BD'(A与A',D与D'是对应点),CD'=CD,则cosα的值为.
(1)在Rt△BDC中,∠DCB=60°,CD=8,
∴ BC=16,BD=8,
在Rt△ABD中,AB=AD,
∴ ∠ABD=∠ADB=45°,
∴ AB=AD=8× =4 ,
如图1,过点H作AH⊥BD于H,
则∠BAH=∠DAH=45°,AH= BD=4,
当点P在点H右侧时,
在Rt△AHP中,AH=4,AP=DC=8,∴ ∠HAP=30°,
∴ ∠PAB=∠BAH+∠HAP=75°.
当点P'在点H左侧时,
∴ ∠P'AB=∠BAH-∠HAP'=15°.
综上所述,∠P'AB=75°或15°.
(2)①由题意知,BE与BC在同一条直线上,∠AEB=45°,BD=BE,
∵ ∠DBE=30°,
∴ ∠BDE=∠BED= (180°-30°)=75°,∠DOE=∠DBE+∠AEB=75°,
∵ ∠BDE=∠EDO,∠DOE=∠DEB=75°,
∴△BDE∽△EDO,
∴ ,
∴ DE2=DODB.
(3)根据题意△ABD绕点B旋转α得到△A'BD'(A与A,D与D'是对应点),CD'=CD,则cosα的值为.
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【题目】A,B两地之间有一条6000米长的直线跑道,小月和小华分别从A,B两地同时出发匀速跑步,相向而行,第一次相遇后,小月将自己的速度提高25%,并匀速跑步到达B点,到达后原地休息;小华匀速跑步到达A点后,立即调头按原速返回B点(调头时间忽略不计),两人距各自出发点的距离之和记为y(米),跑步时间记为x(分钟),已知y(米)与x(分钟)之间的关系如图所示,则小月到达B点后,再经过_____分钟小华回到B点.
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【题目】某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查,要求每名学生必选且只能选一项.现随机抽查了部分学生,并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图.
抽取的学生最喜欢体育活动的条形统计图
抽取的学生最喜欢体育活动的扇形统计图
请结合以上信息解答下列问题:
(1)在这次调查中一共抽查了_____学生,扇形统计图中“乒乓球”所对应的圆心角为_____度,并请补全条形统计图;
(2)己知该校共有1200名学生,请你估计该校最喜爱跑步的学生人数;
(3)若在“排球、足球、跑步、乒乓球”四个活动项目任选两项设立课外兴趣小组,请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“排球、乒乓球”这两项活动的概率.
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【题目】甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛,要从中选两位同学打第一场比赛.
(1)若由甲挑一名选手打第一场比赛,选中乙的概率是 ;
(2)任选两名同学打第一场,求恰好选中甲、乙两位同学的概率.
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【题目】某校九年级获得一个到高校体验的名额,从前期的选拔中,小明和小刚从众多报名者中脱颖而出:为公平起见,学校设计了如下的游戏:四张大小、质地相同的卡片上分别标有数字1、2、3、4.将标有数字的一面朝下,洗匀后从中抽取一张卡片,记下上面的数字,不放画,再从剩余的卡片中抽取一张卡片,记下上面的数字如果两次抽取卡片上数字之和是奇数,小明获胜:如果两次抽取卡片上数字之和是偶数,小刚获胜,获胜的同学将代表学校参加“高校体验”活动.请问:学校设计的这个游戏是否公平?说明理由.
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【题目】中华文化源远流长,文学方面,《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表,被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况,就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查,根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图.
请根据以上信息,解决下列问题
(1)本次调查所得数据的众数是____部,中位数是_____部;
(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为_____度;
(3)请将条形统计图补充完整;
(4)没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读,求他们恰好选中同一名著的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、C、F在坐标轴上,E是OA的中点,四边形AOCB是矩形,四边形BDEF是正方形,若点C的坐标为(3,0),则点D的坐标为( )
A. (1,2.5)B. (1,1+ )C. (1,3)D. (﹣1,1+ )
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【题目】为满足市场需求,新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子,根据市场预测,该品牌粽子每个售价4元时,每天能出售500个,并且售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个,为了维护消费者利益,物价部门规定,该品牌粽子售价不能超过进价的200%,请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价,使超市每天的销售利润为800元.
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