Question

观察下列等式：15=4×2²-1；35=4×3²-1；63=4×4²-1；…．
（1）请你写出两个符合上述规律的等式；
（2）数字1023、1403能否写成上述等式形式？若能，请写出等式；若不能，请说明理由．
（3）若n表示正整数，请用字母n表示符合上述规律的第n个等式．

Answer 1

解：（1）99=4×5²-1；143=4×6²-1；

（2）∵（1023+1）÷4=16²，
∴1023=4×16²-1，
∵（1403+1）÷4=351，
351不是平方数，
∴1403不能写成上述等式形式；

（3）（2n+1）（2n+3）=4（n+1）²-1．
分析：（1）左边为两个连续奇数的积，右边为这两个数的和的的平方的4倍减去1，根据此规律写出两个即可；
（2）把这个数加上1除以4，只要是平方数就能写成上述等式的形式，否则不能；
（3）根据（1）中的发现写出即可．
点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出左边的两个数是连续奇数并且这个数加上1除以4后是平方数是解题的关键．