Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作ABDE，连接AD，EC．

（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形（已知），

∴AB∥DE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）；

∴∠B=∠EDC（两直线平行，同位角相等）；

又∵AB=AC（已知），

∴AC=DE（等量代换），∠B=∠ACB（等边对等角），

∴∠EDC=∠ACD（等量代换）；

∵在△ADC和△ECD中，

，

∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形（已知），

∴BD∥AE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等），

∴AE∥CD；

又∵BD=CD，

∴AE=CD（等量代换），

∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），

∴∠ADC=90°，

∴ADCE是矩形．

【解析】（1）由平行四边形的性质易得对边平行且相等，又由等边对等角，可得两个三角形有两组对边相等且夹角相等，可判定两个三角形全等。
（2）由四边形ABDE是平行四边形易得四边形ADCE是平行四边形，在利用等腰三角形的性质“三线合一”可得∠ADC=90°，最终可得ADCE是矩形.
【考点精析】关于本题考查的矩形的判定方法，需要了解有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形才能得出正确答案．