Question

在正方形ABCD中，CE⊥DF．

（1）如图1，证明：BE=CF．
（2）如图2，设正方形对角线交点为O，连接EO，FO猜想：OE与OF之间的关系．并说明理由．
（3）在（2）中，若OE=

5

，FC=1，求正方形的边长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：（1）根据正方形的性质可得BC=CD，∠BCD=90°，然后求出∠BCE=∠CDF，再利用“角边角”证明△BCE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据正方形的性质可得OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，再由BE=CF，证得△OEB≌△OCF，得出OE=OF；
（3）由△OEB≌△OCF得出∠EOB=∠FOC，得出∠EOF=90°，连接EF，利用勾股定理求得EF，再进一步利用BE=CF和勾股定理求得BF，求得结论．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠BCD=90°，
∵CE⊥DF，
∴∠CDF+∠DCE=90°，
又∵∠BCE+∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠CDF，
在△BCE和△CDF中，

∠BCE=∠CDF BC=CD ∠B=∠BCD

，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
∴BE=CF；

（2）OE=OF；
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
在△OEB和△OCF中，

OB=OC ∠OBE=∠OCF BE=CF

∴△OEB≌△OCF（SAS），
∴OE=OF；

（3）解：如图，

连接EF，
∵△OEB≌△OCF，
∴∠EOB=∠FOC，OE=OF=

5

∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°，
∴EF=

OE2+OF2

=

10

，
又∵BE=CF=1
∴BF=

EF2-BE2

=3
∴BC=BF+FC=3+1=4；
即正方形的边长是4．

点评：此题综合考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，注意理清思路，正确解答．