二次函数y=ax2+bx+c的图象与一次函数y1=x+k的图象交于A为二次函数图象的顶点．(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,中的二次函数y=ax2+bx+c的图象平移后得到新的二次函数${y 2}=a{x^2}+bx+c\;+m$的图象.定义新函数f:“当自变量x任取一值时.x对应的函数值分别为y1或y2.如果y1≠y2.函数f的函数值等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与一次函数y₁=x+k的图象交于A（0，1）、B两点，C（1，0）为二次函数图象的顶点．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）把（1）中的二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象平移后得到新的二次函数${y_2}=a{x^2}+bx+c\;+m（a≠0，m为常数）$的图象，定义新函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁或y₂，如果y₁≠y₂，函数f的函数值等于y₁、y₂中的较小值；如果y₁=y₂，函数f的函数值等于y₁（或y₂）．”当新函数f的图象与x轴有三个交点时，直接写出m的取值范围．

分析（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x-1）²，把点A（0，1）代入，利用待定系数法即可求得；
（2）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象平移得到新的二次函数y₂=ax²+bx+c+m（a≠0，m为常数）的图象的过程中，与x轴的交点由两点变为三点，由三点变为两点，从而求得m的取值范围．

解答解：（1）∵C（1，0）为二次函数图象的顶点，
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）²，
由抛物线过点A（0，1），可得a=1，
∴抛物线解析式为y=x²-2x+1；

（2）如图所示：当抛物线的顶点在x轴上时，即m=0时，新函数f的图象与x轴有两个个交点，
当抛物线与直线交于（-1，0）时，
0=（-1）²-2×（-1）+1+m，解得m=-4，
即m=-4时新函数f的图象与x轴有两个交点，

故当新函数f的图象与x轴有三个交点时，m的取值范围为-4＜m＜0．

点评本题考查了直线与抛物线解析式的求法、二次函数的图象、抛物线和x轴的交点以及抛物线的相关性质的运用．关键是熟练掌握抛物线顶点式与交点式与性质之间的联系．

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