Question

已知梯形AOCD在直角坐标系中的位置如图1所示，其中AD∥OC，AO⊥OC，且CD=5，若C点的坐标为C（5，0），tan∠DCO=

4

3

（1）求D点的坐标及过C、D、O三点的抛物线解析式；
（2）动点P在线段OA上自O点出发向A点运动，速度为每秒1个单位，同时动点Q自A点出发以相同的速度，沿折线A-D-C运动，当其中一点到达终点时另一点也立即停止运动．设△APQ的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
（3）当（2）中的S取最大值时，过Q作QE⊥x轴于E，此时，抛物线上是否存在点M，使S_△OPM=S_△QEM？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据tan∠DCO=

4

3

，以及CD=5，得出DE=4，CE=3，再利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）根据0＜x≤2 时，以及2＜x≤4时，分别得出即可；
（3）根据二次函数最值以及三角形面积求法得出即可．

解答：解：（1）作DE⊥CO，
∵CD=5，C点的坐标为C（5，0），
tan∠DCO=

4

3

，
∴

DE

EC

=

4

3

，
∴DE=4，CE=3，
∴AD=2，
∴D（2，4），
将O（0，0），D（2，4），C（5，0）代入解析式：

c=0 4a+2b+c=4 25a+5b+c=0

，
解得：

a=- 2 3 b= 10 3 c=0

．
∴y=-

2

3

x²+

10

3

x；

（2）0＜x≤2 时，
S=

1

2

（4-t）t=-

1

2

t²+2t，
2＜x≤4时，
S=-

3

10

（ t-

4

3

）²+

32

15

=-

3

10

t²+

4

5

t+

8

5

；

（3）∵t=2时，S_最大=2，
当S_△OPM=S_△QEM，PO=2，DE=4，
∴PM=2AD=4，
∴M₁（4，

8

3

），
同理可得 M₂（

4

3

，

88

27

）．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数最值求法和三角形面积求法等知识，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．