Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①BE=$\frac{1}{2}$AC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=$\frac{1}{2}$AB中，一定正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根据作图可得P到B、C两点距离相等，再由D是BC边的中点可得PD是BC的垂直平分线，由三角形中位线定理及直角三角形的性质可得①正确；再根据角的互余关系可证明∠A=∠EBA，故②正确；结论③不能证明，根据三角形中位线定理可得④正确．

解答 解：∵由作图可得P到B、C两点距离相等，
又∵点D是BC边的中点，
∴PD是BC的垂直平分线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E是AC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AC，故①正确；
∵PD是BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠C=∠EBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠A=∠EBA，故②正确；
根据所给条件无法证明EB平分∠AED，故③错误；
∵∠A=∠EBA，
∴AE=BE，
∵BE=EC，
∴EA=EC，
∵D为BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ED=$\frac{1}{2}$AB，故④正确．
故选B．

点评 此题主要考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线的作法和性质．