Question

已知反比例函数y=和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若两个函数图象在第一象限内的交点为A（1，m），请问：在x轴上是否存在点B，使△AOB为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；
（3）若直线y=-x+交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数y=（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F，求证：DE•CF为定值．

Answer 1

解：（1）∵y=2x-1的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点，
∴，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=；

（2）∵A（1，m）在反比例函数y=上，
∴A（1，1），
若∠ABO=90°，则B（1，0）；
若∠OAB=90°，则B（2，0）．
∴在x轴上存在点B，使△AOB为直角三角形，且满足条件的点B有两个，
即：B₁（1，0），B₂（2，0）；

（3）设P（x，y），
∵直线y=-x+交x轴于C，交y轴于D，
∴C（0.5，0），D（0，0.5），
∴△OCD为等腰直角三角形．
作FM⊥x轴于M，EN⊥y轴于N，
则△FMC、△DEN为等腰直角三角形，
∴FC=FM=y，DE=EN=x，
∴DE•CF=2xy，
∵P（x，y）在y=上，
∴xy=1，
∴DE•CF=2．
分析：（1）把（a，b）、（a+1，b+k）分别代入y=2x-1，转化为关于未知系数的方程组解答；
（2）求出A点坐标，即可根据图形特征找到B点坐标；
（3）作FM⊥x轴于M，EN⊥y轴于N，构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，将DE•CF转化为反比例函数系数的倍数解答．
点评：本题考查了用待定系数法求解析式和函数图象的交点坐标与函数解析式组成的方程组的解的关系，构造等腰直角三角形也是解答此题的关键．