Question

9．如图，在△ABC中，点D为BC边上-点，∠BAD=∠CAE=∠CDE，AC=AE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AE∥BC，且∠E=∠CAD，求∠C的度数．

Answer 1

分析 （1）如图，根据已知条件得到∠BAC=∠DAE，根据三角形的内角和得到∠C=∠E，即可证得△ABC≌△ADE；
（2）根据全等三角形的性质得到AB=AD，由等腰三角形的性质得到∠ADB=∠ABD．根据平行线的性质得到∠E=∠EDC，∠DAE=∠ADB，∠EAC=∠C，由已知条件∠BAD=∠CAE=∠CDE，令∠E=x，于是得到∠DAE=x+x=2x=∠ADB，于是得到∠ABD=2x，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：如图，∵∠BAD=∠CAE=∠CDE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即：∠BAC=∠DAE，
∵∠AFE=∠DFC，
∴∠C=∠E，
在△ABC与△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAE}\\{AC=AE}\\{∠C=∠E}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE；

（2）解：∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD．
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EDC，∠DAE=∠ADB，∠EAC=∠C，
∵∠BAD=∠CAE=∠CDE，令∠E=x，
则有：∠DAE=x+x=2x=∠ADB，
∴∠ABD=2x，
∴在△ABD中有：x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠C=∠E=36°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，难度适中．证明△ABC≌△ADE是解题的关键．