Question

6．如图，抛物线C₁：y=-（x+m）²+m²（m＞0）的顶点为A，抛物线C₂：y=-（x-n）²+n²（n＞m）的顶点为B，抛物线C₂的对称轴与抛物线C₁相交于点C，抛物线C₁的对称轴与抛物线C₂相交于点D．
（1）请你用含有m、n的代数式表示线段AD、BC的长度；
（2）若抛物线C₁是y=-（x+1）²+1，OM=3，求抛物线C₂的解析式和$\frac{AM}{BM}$的值；
（3）若在抛物线C₁上存在点N，使得△AND∽△BMC，求m、n所满足的关系．

Answer 1

分析 （1）AD用A与D的纵坐标之差表示，BC用B与C的纵坐标之差表示；
（2）先求AB的解析式，再确定B点坐标，再用两点间的距离公式求出AM与BM；
（3）如果△AND∽△BMC，那么必有∠NAD=∠MBC，由于AD∥BC，故延长BA与抛物线的交点就是N，利用两边对应成比例列出线段等式，然后对等式进行恒等变形即可得出结论．当然，各线段要用m与n表示．

解答 解：（1）由顶点坐标，得
A（-m，m²）；B（n，n²）．
直线AD：x=-m，直线BC：x=n．
把x=-m代入C₂：y=-（x-n）²+n²，y=-m²-2mn，即D（-m，-m²-2mn）；
把x=n代入C₁：Y=-（x+m）²+m²，解得y=-n²-2mn，即C（n，-n²-2mn）．
AD=m²-（-m²-2mn）=2m²+2mn，
BC=n²-（-n²-2mn）=2n²+2mn；
（2）由C₁是y=-（x+1）²+1，OM=3，得A（-1，1），M（0，3）．
设AM的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故直线AB的解析式为y=2x+3，
把B（n，n²）代入y=2x+3得
n=-1（舍），n=3，
n²=9，B（3，9）
C₂：y=-（x-3）²+9；
$\frac{AM}{BM}$=$\frac{\sqrt{1+（3-1）^{2}}}{\sqrt{{3}^{2}+（9-3）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}}$=$\frac{1}{3}$；
（3）∵△AND∽△BMC，∴∠NAD=∠MBC，
∵AD∥BC，
故延长BA与抛物线的交点就是N，如图，

由A（-m，m²）、B（n，n²）求得直线AB的解析式为：y=（n-m）x+mn，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=（n-m）x+mn}\\{y=-（x+m）^{2}+{m}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-n}\\{y=-{n}^{2}+2mn}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-m}\\{y={m}^{2}}\end{array}\right.$（舍去），
∴N（-n，-n²+2mn），
∴AN²=（-n+m）²+（-n²+2mn-m²）²=（n-m）²[1+（n-m）²]，
BM²=n²+（n²-mn）²=n²[1+（n-m）²]，
AD²=（2m²+2mn）²=4m²（m+n）²，
BC²=（2n²+2mn）²=4n²（m+n）²，
∵$\frac{A{N}^{2}}{B{M}^{2}}=\frac{A{D}^{2}}{B{C}^{2}}$，
∴$\frac{{（n-m）}^{2}[1+{（n-m）}^{2}]}{{n}^{2}[1+{（n-m）}^{2}]}$=$\frac{4{m}^{2}{（m+n）}^{2}}{4{n}^{2}{（m+n）}^{2}}$，
∴$\frac{n-m}{n}=\frac{m}{n}$，
∴n=2m．
根据抛物线的对称性可知，N（-n，-n²+2mn）关于对称轴AD的对称点为N'（-2m+n，-n²+2mn）也是符合要求的点，由于AN²=（-n+m）²+（-n²+2mn-m²）²=（n-m）²[1+（n-m）²]=AN'²=（-n+m）²+（-n²+2mn-m²）²=（n-m）²[1+（n-m）²]，所以结果同上，不受影响．
综上所述，n=2m．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、两点间的距离公式、解二元二次方程组等知识点，难度较大．本题多次用到两点间的距离公式，熟练掌握公式是关键．