Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设DC=x，$\frac{AE}{BE}$=y．
（1）当x=1时，求tan∠BCE的值；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当x=1时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N，当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠BCE=∠DAC，根据tan∠BCE=tan∠DAC=$\frac{DC}{AC}$计算即可．
（2）如图1中，作BH⊥BC交CE的延长线于H．先证明△BCH∽△ACD，可得$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BH}{CD}$，推出BH=$\frac{3}{4}$x，由BH∥AC，可得$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AC}{BH}$，由此即可解决问题．
（3）如图2中，过B作BK⊥AD于K，GQ⊥AD于Q，设GQ=4aM则AQ=16a，想办法求出AN，根据AN=19a，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AD⊥CE，
∴∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠DAC+∠ACF=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
∴tan∠BCE=tan∠DAC=$\frac{DC}{AC}$，
∵CD=x=1，AC=4，
∴tan∠BCE=$\frac{1}{4}$．

（2）如图1中，作BH⊥BC交CE的延长线于H．
∵∠HBC=∠ACD=90°，∠BCH=∠DAC，
∴△BCH∽△ACD，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BH}{CD}$，
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{BH}{x}$，
∴BH=$\frac{3}{4}$x，
∵BH∥AC，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AC}{BH}$，
∴y=$\frac{4}{\frac{3}{4}x}$，即y=$\frac{16}{3x}$（0＜x＜3）．

（3）如图2中，过B作BK⊥AD于K，GQ⊥AD于Q，设GQ=4a，则AQ=16a，
∵△MNF∽△ABC∽△GNQ，
∴GQ：NQ=AC：BC=4：3，
∴NQ=3a，
∵AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴$\frac{1}{2}$•AD•BK=$\frac{1}{2}$•AC•BC-$\frac{1}{2}$•AC•CD，
∴BK=$\frac{8\sqrt{17}}{17}$，DK=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，AK=$\sqrt{A{B}^{2}-B{K}^{2}}$=$\frac{19\sqrt{17}}{17}$，
∵GQ∥BK，
∴$\frac{BK}{GQ}$=$\frac{NK}{NQ}$，
∴NK=$\frac{6\sqrt{17}}{17}$
∴AN=AK-KN=$\frac{13\sqrt{17}}{17}$，
∴19a=$\frac{13\sqrt{17}}{17}$，
∴a=$\frac{13\sqrt{17}}{323}$，
∴AG=$\sqrt{A{Q}^{2}+G{Q}^{2}}$=4$\sqrt{17}$a=$\frac{52}{19}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、锐角三角函数．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，属于中考压轴题．