Question

3．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：
①2a-b=0；②a+b+c＞0；③c=-3a；④只有当a=$\frac{1}{2}$时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有四个．
其中正确的结论有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 ①根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，可得抛物线的对称轴轴是x=1，所以2a+b=0，据此判断即可．
②根据x=1时，y＜0，可得a+b+c＜0，据此判断即可．
③首先根据点A的坐标为（-1，0），可得a-b+c=0；然后根据b=-2a，判断出c=-3a即可．
④首先连接AD，BD，作DE⊥x轴于点E，要使△ABD是等腰直角三角形，则AD=BD，∠ADB=90°；然后判断出DE=BE，可得|$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$|=2，据此求出a的值是多少即可．
⑤根据题意，分三种情况：Ⅰ、当AB=BC=4时；Ⅱ、当AB=AC=4时；Ⅲ、当AC=BC时；然后根据△ACB为等腰三角形，分类讨论，求出使△ACB为等腰三角形的a的值有哪些即可．

解答 解：∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，
∴对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-1+3}{2}$=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，
∴结论①不正确．

∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴结论②不正确．

∵点A的坐标为（-1，0），
∴a-b+c=0，
又∵b=-2a，
∴a-（-2a）+c=0，
∴c=-3a，
∴结论③正确．

如图1，连接AD，BD，作DE⊥x轴于点E，，
要使△ABD是等腰直角三角形，
则AD=BD，∠ADB=90°，
∵DE⊥x轴，
∴点E是AB的中点，
∴DE=BE，
即|$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$|=$\frac{3-（-1）}{2}$=2，
又∵b=-2a，c=-3a，
∴|$\frac{4a×（-3a）{-（-2a）}^{2}}{4a}$|=2，a＞0，
解得a=$\frac{1}{2}$，
∴只有当a=$\frac{1}{2}$时，△ABD是等腰直角三角形，
∴结论④正确．

要使△ACB为等腰三角形，
则AB=BC=4，AB=AC=4，或AC=BC，
Ⅰ、当AB=BC=4时，
在Rt△OBC中，
∵OB=3，BC=4，
∴OC²=BC²-OB²=4²-3²=16-9=7，
即c²=7，
∵抛物线与y轴负半轴交于点C，
∴c＜0，c=-$\sqrt{7}$，
∴a=-$\frac{c}{3}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

Ⅱ、当AB=AC=4时，
在Rt△OAC中，
∵OA=1，AC=4，
∴OC²=AC²-OA²=4²-1²=16-1=15，
即c²=15，
∵抛物线与y轴负半轴交于点C，
∴c＜0，c=-$\sqrt{15}$，
∴a=-$\frac{c}{3}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

Ⅲ、当AC=BC时，
∵OC⊥AB，
∴点O是AB的中点，
∴AO=BO，
这与AO=1，BO=3矛盾，
∴AC=BC不成立．
∴使△ACB为等腰三角形的a值可以有两个：$\frac{\sqrt{7}}{3}、\frac{\sqrt{15}}{3}$．
∴结论⑤不正确．
综上，可得正确的结论有两个：③④．
故选：A．

点评 （1）此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
（2）此题还考查了抛物线与x轴的交点问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．