Question

如图，给出下面六个判断：
①AB是⊙O的直径；②AC是⊙O′的直径；③⊙O′交AB于点E，弦AD=AE；④点P在AB的延长线上，PD切⊙O于C；⑤AC•PE=BC•PD；⑥PD•PB=PA•PC
（1）请将这6个结论中的3个作为题设，2个作为结论，写出一个真命题，并证明．
（2）若PD=4，PE=3，求PA：PB的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题,压轴题

分析：（1）①②④作为题设，③⑤作为结论，连接CE，OC，证明∠ACD=∠ACE，即可得出③，然后利用相似三角形的性质及等比例代换可得出⑤；
（2）根据（1）的思路，分别确定

PA

PC

及

PB

PC

，然后可得出PA：PB的值．

解答：解：连接CE，OC，

选择①②④作为题设，③⑤作为结论，
证明③：∵PC是圆O'的切线，
∴∠DCA=∠CBA，
∵AC是圆O'的直径，AB是圆O的直径，
∴∠AEC=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ACE=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠ACE=∠ABC=∠DCA，
∴AD=AE．
证明⑤：易证△ABC∽△ACE，
则

AC

BC

=

AE

CE

，
∵AD=AE，
∴

AE

CE

=

AD

CE

，
∵△PCE∽△PAD，
∴

AD

CE

=

PD

PE

，
综上可得：

AC

BC

=

PD

PE

，
即证明AC•PE=BC•PD．
（2）由（1）的证明过程可得：

PD

PE

=

AC

BC

=

PA

PC

=

4

3

，
∵

PB

PC

=

PC

PA

（切割线定理），
∴

PB

PC

=

PC

PA

=

3

4

，
∴PA：PB=

PA

PC

：

PB

PC

=

16

9

．

点评：本题属于圆的综合题，涉及了切割线定理、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求同学们先将比例式变形，然后一步一步的推，逻辑性要强．