Question

(满分l4分)已知：抛物线y=x²-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上．
(1)求a的值；
(2)若该抛物线的顶点C在x轴的正半轴上，而此抛物线与直线Y=x+9交于A，B两点，且A点在B点左侧，P为线段AB上的点(A，B两端点除外)．过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q(可在图中画示意图)．问：

①线段AB上是否存在这样的点P，使得PQ的长等于6?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②线段AB上是否存在这样的点P，使得△ABQ∽△OAC?若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)解：若抛物线y=x²-(a+2)x+9的顶点在y轴上，得a=2；       ……2分
若抛物线y=x² –(a+2)x+9的顶点在x轴上，由△=0，得a=4或a=-8． ……4分
(2)根据题意得a=4，此时抛物线为y= x²—6x+9．                    ……5分
y=x+9．
解   
y=x²-6x+9
      x₁=0，        x₂=7
得   
y₁=9，        y₂=16．
所以A(0，9)，B(7，16)．                                            ……7分
①由于点P在直线y=x+9上，因此设符合题意的点P的坐标为(t，t+9)，此时对应的点Q的坐标为(t，t²-6t+9)，                                              ……9分
由题意得PQ=(t+9)-(t²-6t+9)=6，
解得t-l或6．                                                      ……11分
由题意0<t<7，点P的坐标为(1，10)或(6，15)．                        ……12分
②设在线段AB上存在这样的点P，使得△ABQ∽△0AC，
∵∠BAQ=∠AOC=90°，分别过B，Q两点向Y轴作垂线，垂足为E，H，
由∠BAQ=90°，注意到直线y=x+9与x轴所夹的锐角为45°，
由QH=AH可求得点Q的坐标为(5，4)，但显然AB:AQ≠OA:OC，
∴△ABQ与△OAC不可能相似，                                        ……l3分
∴线段AB上不存在符合条件的点P．                                    ……14分

解析