Question

已知一次函数y=kx+b与双曲线y=

4

x

在第一象限交于A、B两点，A点横坐标为1．B点横坐标为4．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象指出不等式kx+b＞

4

x

的解集；
（3）点P是x轴正半轴上一个动点，过P点作x轴的垂线分别交直线和双曲线于M、N，设P点的横坐标是t（t＞0），△OMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并指出t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）反比例函数的解析式已知，把A、B坐标代入就能求得完整的坐标，代入一次函数解析式即可求得k，b的值；
（2）实际是求一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时，x的取值．应从两个函数的交点入手观察；
（3）应从两个交点的横坐标入手，分3种情况表示出△OMN的面积进行探讨．

解答：解：（1）将A点横坐标为1、B点横坐标为4分别代入双曲线y=

4

x

中，可得A（1，4），B（4，1）；
再将A、B两点分别代入一次函数y=kx+b中，解得：k=-1，b=5；
∴一次函数的解析式为：y=-x+5（3分）；

（2）从两个函数图象的交点看，x的取值在两个交点A、B之间时，一次函数的函数值才大于反比例函数的函数值，
∴1＜x＜4或x＜0（3分）；

（3）①0＜t＜1时，S=

1

2

t[

4

x

-（-t+5）]=

1

2

t2-

5

2

t+2，
②1＜t＜4时，S=

1

2

t[（-t+5）-

4

x

]=-

1

2

t2+

5

2

t-2，
③4＜t时，S=

1

2

t[

4

x

-（-t+5）]=

1

2

t2-

5

2

t+2．

点评：求一次函数的解析式需知道它上面的两个点的坐标；比较两个函数值的大小，应从交点坐标的入手观察．