Question

20．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点．有下列结论：
①∠AMD=90°；
②M为BC的中点；
③AB+CD=AD；
④S_△ADM=S_梯形ABCD；
⑤M到AD的距离等于BC的一半．
其中正确的结论是①②③⑤．

Answer 1

分析 作MN⊥AD于N，如图，根据角平分线的性质得MB=MN，MN=MC，则根据“HL”可证明Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA，则∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定义可得∠AMD=90°，则可对①进行判断；同时利用MB=MN=MC可对②⑤进行判断；根据全等三角形的性质，利用Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA得到CD=ND，AB=AN，则可对③进行判断；根据全等三角形性质得S_△MCD=S_△MND，S_△MBA=S_△MNA，所以S_△ADM=$\frac{1}{2}$S_梯形ABCD，则可对④进行判断．

解答 解：作MN⊥AD于N，如图，
∵AM和DM分别为∠DAB与∠ADC的平分线，
而MN⊥AD，MC⊥CD，MB⊥AB，
∴MB=MN，MN=MC，
在Rt△MCD和Rt△MND中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{MC=MN}\end{array}\right.$，
∴Rt△MCD≌Rt△MND，
∴∠1=∠2，
同理可得Rt△MBA≌Rt△MNA，
∴∠3=∠4，
∴∠2+∠4=$\frac{1}{2}∠$CMN+$\frac{1}{2}∠$BMN=90°，
即∠AMD=90°，所以①正确；
∴MB=MN=MC，
∴MB=MC，所以②⑤正确；
∵Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA，
∴CD=ND，AB=AN，
∴AD=AN+ND=AB+CD，所以③正确；
∵Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA，
∴S_△MCD=S_△MND，S_△MBA=S_△MNA，
∴S_△ADM=$\frac{1}{2}$S_梯形ABCD，所以④错误．
故答案为①②③⑤．

点评 本题考查了梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．会利用三角形全等的知识证明角和线段相等；熟练掌握角平分线的性质作出MN⊥AD是解决问题的关键．