【题目】已知:△ABC是⊙O的内接三角形,且AB=BC,点D为劣弧BC上的一点,连接BD、DC.
(1)如图1,若∠BDC=120°,求证:△ABC是等边三角形;
(2)如图2,在(1)的条件下,线段CD绕点C顺时针旋转60°,得到线段CE,连接AE,求证:BD=AE;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接OE,若⊙O的半径为,OE=2,求BD的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)BD=3.
【解析】
(1)根据圆内接四边形的性质和等边三角形的判定解答即可;
(2)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可;
(3)连接ED,利用勾股定理和直角三角形的性质解答即可.
证明:(1)∵四边形ABDC内接于⊙O,
∴∠BDC+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°-∠BOA=180°-120°=60°.
∵BA=BC,
∴△ABC是等边三角形.
(2)由(1)知△ABC是等边三角形,
∴∠BCA=60°,
∵∠DCE=60°,
∴∠BCA=∠DCE
而∠BCA=∠BCE+∠ECA,∠DCE=∠BCD+∠BCE,
∴∠ECA=∠DCB,
∵在△CDB与△CEA中
,
∴△CDB≌△CEA(SAS)
∴DB=AE;
(3)连接ED,可知△CDE为等边三角形,
∴∠DCE=∠DEC=∠EDC=60°,
∵∠BDC=120°
由(2)知△CDB≌△CEA,
∴∠BDC=∠AEC=120°,∠DEC+∠AEC=180°,
∴A、E、D三点在同一直线上,连接OD、OC,
,
∵OD=OC,ED=EC,
∴OE是线段DC的中垂线,
∴OE是∠DEC平分线,
设直线OE与CD的交点为G,则有∠EDG=∠DEC=30°,
∴∠OEA=∠DEG=30°,
连接OA,过点O作OH⊥AE,垂足为H,
在直角三角形OEH中,OE=2,∠OEA=30°,
∴OH=OE=1
可得EH=,
在直角三角形OAH中,OA=,OH=1,根据勾股定理,得AH=2,
∴AE=AH+HE=3,
∴BD=AE=3.
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【题目】某商家独家销售具有地方特色的某种商品,每件进价为40元.经过市场调查,一周的销售量y件与销售单价x(x≥50)元/件的关系如下表:
销售单价x(元/件) | … | 55 | 60 | 70 | 75 | … |
一周的销售量y(件) | … | 450 | 400 | 300 | 250 | … |
(1)直接写出y与x的函数关系式: .
(2)设一周的销售利润为S元,请求出S与x的函数关系式,并确定当销售单价在什么范围内变化时,一周的销售利润随着销售单价的增大而增大?
(3)雅安地震牵动亿万人民的心,商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区,在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下,请你求出该商家最大捐款数额是多少元?
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【题目】如图,点A(m,m+1),B(m+3,m-1)都在反比例函数y=的图象上. 将线段 AB沿直线y=kx+b进行对折得到对应线段A′B′,且点A′ 始终在直线OA上,当线段A′B′ 与x轴有交点时,(1),m=____;(2),b的取值范围是____.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(m,6),B(3,n)两点.
(1) 求一次函数的表达式;
(2) 根据图象写出kx+b-<0的x的取值范围.
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【题目】如图,在△ABC中,已知∠C=90°,sin∠A=,点D为边AC上一点,若∠BDC=45°,DC=6cm,则△ABC的面积等于 ________cm2.
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【题目】如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2.
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少米?
(3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,延长DC交AB的延长线于点E .
(1)若∠ADC=86°,求∠CBE的度数;
(2)若AC=EC,求证:AD=BE.
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【题目】某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8部;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部.
(1)当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元?
(2)若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式.
(3)商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元?此时的最大利润是多少元?
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当﹣1<x<3时,y>0,其中正确的是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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