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精英家教网已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB和小圆相切于点C,过点C作大圆的弦DE,使DE⊥OA,垂足为F,DE交小圆于另一点G.求证:AF•AO=DC•DG.
分析:连接OC,根据相交弦定理可得,AC•BC=DC•CE,又AB是小圆的切线,故OC⊥AB,根据垂径定理,可得AC=BC,故AC2=DC•CE;又因为OC⊥AB,DE⊥OA,所以有∠AFC=∠ACO=90°,且∠CAF=∠OAC,那么△ACF∽△AOC,可得比例线段AC:AF=AO:AC,即AC2=AO•AF;于是有AO•AF=DC•CE;而DE⊥OA,利用垂径定理,可得DF=EF,CF=FG,等量加等量和相等,可得DG=CE,等量代换可得AO•AF=DC•DG.
解答:精英家教网证明:连接OC,(1分)
∵AB是小圆切线,
∴OC⊥AB,
∴AC=BC,(1分)
∵AB与DE相交于C,
∴CA•CB=CD•CE,(1分)
∴AC2=CD•CE,①
∵OC⊥AC,CF⊥OA,
∴△ACO∽△AFC,
AC
AF
=
AO
AC

∴AC2=AF•AO,②
∵OF⊥DE,
∴CF=GF,DF=EF,
∴DF+FG=EF+CF,
∴DG=EC,③(2分)
由①、②、③,可得AF•AO=DC•DG.
点评:本题利用了垂径定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、等量代换等知识.
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(1)试猜想AC与BD的大小关系,并说明理由;
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,求大圆的半径.

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(1)试猜想AC与BD的大小关系,并说明理由;
(2)若AB=24,CD=10,小圆的半径为5数学公式,求大圆的半径.

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