Question

16．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A₁O₁F，求此时Rt△A₁O₁F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A₂O₂C₂，Rt△A₂O₂C₂与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求抛物线解析式；
（2）由GH∥A₁O₁，求出GH=1，再求出FH，S_重叠部分=S_△A1O1F-S_△FGH计算即可；
（3）分两种情况①直接用面积公式计算，②用面积差求出即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0），B（9，0）和C（0，4）．
∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-9），
∵C（0，4）在抛物线上，
∴4=-27a，
∴a=-$\frac{4}{27}$，
∴设抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{27}$（x+3）（x-9）=-$\frac{4}{27}$x²+$\frac{8}{9}$x+4，
∵CD垂直于y轴，C（0，4）
∴-$\frac{4}{27}$x²+$\frac{8}{9}$x+4=4，
∴x=6，
∴D（6，4），
（2）如图1，

∵点F是抛物线y=-$\frac{4}{27}$x²+$\frac{8}{9}$x+4的顶点，
∴F（3，$\frac{16}{3}$），
∴FH=$\frac{4}{3}$，
∵GH∥A₁O₁，
∴$\frac{GH}{{A}_{1}{O}_{1}}=\frac{FH}{F{O}_{1}}$，
∴$\frac{GH}{3}=\frac{\frac{4}{3}}{4}$，
∴GH=1，
∵Rt△A₁O₁F与矩形OCDE重叠部分是梯形A₁O₁HG，
∴S_重叠部分=S_△A1O1F-S_△FGH=$\frac{1}{2}$A₁O₁×O₁F-$\frac{1}{2}$GH×FH=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{4}{3}$=$\frac{16}{3}$．
（3）①当0＜t≤3时，如图2，

∵C₂O₂∥DE，
∴$\frac{{O}_{2}G}{DE}=\frac{O{O}_{2}}{OE}$，
∴$\frac{{O}_{2}G}{4}=\frac{t}{6}$，
∴O₂G=$\frac{2}{3}$t，
∴S=S_△OO2G=$\frac{1}{2}$OO₂×O₂G=$\frac{1}{2}$t×$\frac{2}{3}$t=$\frac{1}{3}$t²，
②当3＜t≤6时，如图3，

∵C₂H∥OC，
∴$\frac{D{C}_{2}}{CD}=\frac{{C}_{2}H}{OC}$，
∴$\frac{6-t}{6}=\frac{{C}_{2}H}{4}$，
∴C₂H=$\frac{2}{3}$（6-t），
过G作GN⊥C₂O₂于N，
∵△C₂GD∽△A₂GO且C₂D=6-t，OA₂=t-3，C₂O₂=4，
∴$\frac{{C}_{2}N}{{C}_{2}{O}_{2}}=\frac{{C}_{2}D}{{A}_{2}{O}_{2}}$，
∴$\frac{{C}_{2}N}{4}=\frac{6-t}{6-t-（t-3）}$
∴C₂N=$\frac{4（6-t）}{3}$，
∵C₂H=$\frac{2（6-t）}{3}$，
∴C₂H=HN，
∴△GNH≌△DC₂H，
∴GN=C₂D=6-t
∴S=S_{四边形A2O2HG}=S_△A2O2C2-S_△C2GH
=$\frac{1}{2}$OA×OC-$\frac{1}{2}$C₂H×GN
=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$（6-t）（6-t）
=-$\frac{1}{3}$t²+4t-6
∴当0＜t≤3时，S=$\frac{1}{3}$t²，当3＜t≤6时，S=-$\frac{1}{3}$t²+4t-6．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行线分线段成比例定理，三角形的面积计算，解本题的关键是画出图形．