Question

17．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点E为BD的中点，∠BAC+∠BDC=180°，AB=CD=5，tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，则AD=2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，证明△BME≌△DNE和Rt△ABM≌Rt△DCN，得BE=CE=DE，从而得△BCD是直角三角形，利用同角的正切先求出BC的长，再依次求出AM、CN、DN、AD的长，

解答 解：过B作BM⊥CA，交CA的延长线于M，过D作DN⊥CA，垂足为N，
∴∠BME=∠DN90°，
∵点E为BD的中点，
∴BE=DE，
∵∠BEM=∠DEN，
∴△BME≌△DNE，
∴BM=DN，
∵AB=CD，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴∠BAM=∠DCN，
∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAM=180°，
∴∠BDC=∠BAM，
∴∠BDC=∠DCN，
∴DE=CE，
∴BE=CE=DE，
∴∠DBC=∠ECB，
∴∠DBC+∠BDC=∠ECB+∠DCN，
∴△BCD是直角三角形，
∵tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠DBC=$\frac{1}{2}$，
∵DC=5，
∴BC=10，
在△BMC中，设BM=x，则CM=2x，
由勾股定理得：x²+（2x）²=10²，
x=±2$\sqrt{5}$，
∴BM=DN=2$\sqrt{5}$，CM=4$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CN=AM=$\sqrt{5}$，
∴AN=CM-AM-CN=4$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
在△ADN中，AD=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$，
故答案为：2$\sqrt{10}$．

点评 本题是解直角三角形问题，恰当地构建辅助线是本题的关键，利用三角形全等证明边相等，并借助同角的三角函数值求线段的长，与勾股定理相结合，依次求出各边的长即可．