Question

如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，CA是⊙O的切线，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）若sinB=

3

5

，求DF：CF的值．

Answer 1

考点：切线的性质,圆周角定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）根据圆周角定理以及切线的性质，以及直角三角形的两锐角互余即可证得∠AFD=∠AEC，进而证得∠EFC=∠AEC，根据等角对等边即可证得；
（2）根据切线的性质证明∠ACD=∠B，作FG⊥AC于点G，则FG=DF，利用三角函数的定义即可求解．

解答：（1）证明：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠AFD+∠DAF=90°．
∵CA是⊙O的切线，
∴∠ACB=90°，
∴∠AEC+∠EAC=90°，
又∵∠DAF=∠EAC，
∴∠AFD=∠AEC，
又∵∠EFC=∠AFD，
∴∠EFC=∠AEC，
∴CE=CF；

（2）解：作FG⊥AC于点G．
∵直角△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
又∵∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B．
∵AE平分∠BAC，
∴FG=DF，
又∵在直角△CFG中，sin∠ACD=sinB=

FG

FC

=

3

5

，
∴DF：CF=FG：FC=3：5．

点评：本题考查了切线的性质以及圆周角定理，三角函数的性质，正确作辅助线，作出与DF相等的线段是关键．