Question

7．已知：如图，AD∥BC，BD、AC交于O，BA、CD的延长线交于P，PO的延长线交BC于F．求证：
（1）AE=ED；
（2）BF=FC．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，得到△PAE∽△PBF，△PDE∽△PCF，△AEO∽△COF，△DEO∽△BFO根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{BF}$=$\frac{PE}{PF}$，$\frac{DE}{CF}=\frac{PE}{PF}$，$\frac{AE}{CF}=\frac{OE}{OF}$，$\frac{DE}{BF}=\frac{OE}{OF}$，等量代换得到$\frac{AE}{BF}$=$\frac{DE}{CF}$，$\frac{AE}{CF}$=$\frac{DE}{BF}$，两式相除得到$\frac{\frac{DE}{CF}}{\frac{AE}{CF}}$=$\frac{\frac{AE}{BF}}{\frac{DE}{BF}}$，于是得到结论；
（2）由（1）证得：$\frac{AE}{BF}$=$\frac{DE}{CF}$，$\frac{AE}{CF}$=$\frac{DE}{BF}$，两式相除得到$\frac{\frac{AE}{BF}}{\frac{AE}{CF}}$=$\frac{\frac{DE}{CF}}{\frac{DE}{BF}}$，即$\frac{CF}{BF}$=$\frac{BF}{CF}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴△PAE∽△PBF，△PDE∽△PCF，△AEO∽△COF，△DEO∽△BFO
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{PE}{PF}$，$\frac{DE}{CF}=\frac{PE}{PF}$，$\frac{AE}{CF}=\frac{OE}{OF}$，$\frac{DE}{BF}=\frac{OE}{OF}$，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{DE}{CF}$，$\frac{AE}{CF}$=$\frac{DE}{BF}$，
∴$\frac{\frac{DE}{CF}}{\frac{AE}{CF}}$=$\frac{\frac{AE}{BF}}{\frac{DE}{BF}}$，
即：$\frac{DE}{AE}=\frac{AE}{DE}$，
∴AE=DE，

（2）由（1）证得：$\frac{AE}{BF}$=$\frac{DE}{CF}$，$\frac{AE}{CF}$=$\frac{DE}{BF}$，
∴$\frac{\frac{AE}{BF}}{\frac{AE}{CF}}$=$\frac{\frac{DE}{CF}}{\frac{DE}{BF}}$，即$\frac{CF}{BF}$=$\frac{BF}{CF}$，
∴BF=CF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．