Question

17．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则有下列选项：
①∠ACD=60°；
②CB=6$\sqrt{3}$；
③阴影部分的周长为12+3π；
④阴影部分的面积为9π-12$\sqrt{3}$．
其中正确的是①③④（填写编号）．

Answer 1

分析 ①正确，先证明△BOD是等边三角形，再证明∠BCO=∠BCD=60°即可．
②错误，在RT△BOC中利用30°性质得到BC=4$\sqrt{3}$．
③正确．根据阴影部分周长=AC+CD+BD+$\widehat{AB}$的长=AC+OC+BO+$\widehat{AB}$的长即可解决问题．
④正确．根据阴影部分面积=S_扇形OAB-2S_△BOC即可解决问题．

解答 解：①正确．如图连接OD．

∵△BCD是由△BCO翻折得到，
∴BO=BD=OD，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=∠CBD=30°，
∵∠COB=90°，
∴∠OCB=90°-∠CBO=60°=∠BCD，
∴∠ACD=180°-∠BCO-∠BCD=60°，故①正确．
②错误．在RT△BOC中，∵∠BOC=90°，OB=6，∠OBC=30°，
∴cos30°=$\frac{OB}{BC}$，
∴BC=4$\sqrt{3}$，故②错误．
③正确．阴影部分周长=AC+CD+BD+$\widehat{AB}$的长=AC+OC+BO+$\widehat{AB}$的长=12+$\frac{90π•6}{180}$=12+3π，故③正确．
④正确．阴影部分面积=S_扇形OAB-2S_△BOC=$\frac{1}{4}$•π•6²-2×$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=18π-12$\sqrt{3}$，故④正确．
故答案为①③④．

点评 本题考查法则变换、扇形的面积、弧长公式等知识，解题的关键是发现△OBD是等边三角形，记住画出公式、扇形面积公式，属于中考常考题型．