Question

【题目】已知直线l：y=kx和抛物线C：y=ax2+bx+1．
（Ⅰ）当k=1，b=1时，抛物线C：y=ax2+bx+1的顶点在直线l：y=kx上，求a的值；
（Ⅱ）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点；
（i）求此抛物线的解析式；
（ii）若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q，O为原点，求证：OP=PQ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）将k=1，b=1代入代入得：抛物线的解析式为y=ax2+x+1，直线的解析式为y=x．

∵y=ax2+x+1=a（x+ ）2+1﹣ ，

∴抛物线的顶点为（﹣ ，1﹣ ）．

∵抛物线的顶点在直线y=x上，

∴﹣ =1﹣ ，解得：a=﹣ ．

（Ⅱ）（i）将直线y=kx向上平移k2+1个单位，所得直线的解析式为y=kx+k2+1．

∵无论非零实数k取何值，直线与抛物线都只有一个交点，

∴方程kx+k2+1=ax2+bx+1有两个相等的实数根，即ax2+（b﹣k）x﹣k2=0有两个相等的实数根，

∴△=（b﹣k）2+4ak2=（4a+1）k2﹣2bk+b2=0．

∵无论非零实数k取何值时，（4a+1）k2﹣2bk+b2=0恒成立，

∴4a+1=0且b=0，

∴a=﹣ ，b=0．

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+1．

（ii）证明：根据题意，画出图象如图所示：

设点P的坐标为（x，﹣ x2+1）则点Q的坐标为（x，2），D（x，0）．

∴PD=|﹣ x2+1|，OD=|x|，QP=2﹣（﹣ x2+1）= x2+1．

在Rt△OPD中，依据勾股定理得：OP= = = x2+1．

∴OP=PQ

【解析】（1）利用配方法求出顶点坐标，代入y=x中即可;（2）可联立直线和抛物线解析式得到的方程判别式恒等于0，可得出a、b的值；（3）可表示出OP,PQ,证得二者相等.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点才能正确解答此题．