Question

14．如图，BC表示河岸，现测得∠ACB=30°，∠ABC=45°，AC=20米，某人位于河岸上的P处，
（1）求BC的长．
（2）某人在河岸BC上行走，当△PCA为等腰三角形时，求∠PAC的度数．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，则∠ADC=∠ADB=90°，由含30°角的直角三角形的性质得出AD=$\frac{1}{2}$AC=10米，得出CD=$\sqrt{3}$AD=10$\sqrt{3}$（米），证出△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=10米，即可求出BC的长；
（2）分两种情况：①当AC=PC时，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PAC的度数；
②当PA=PC时，由等腰三角形的性质得出∠PAC=∠ACB=30°；即可得出结果．

解答 解：（1）作AD⊥BC于D，如图所示：
则∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠ACB=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=10米，
∴CD=$\sqrt{3}$AD=10$\sqrt{3}$（米），
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=AD=10米，
∴BC=BD+CD=10+10$\sqrt{3}$（米）；
（2）分两种情况：
①当AC=PC时，∠PAC=∠APC=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°；
②当PA=PC时，∠PAC=∠ACB=30°；
综上所述：当△PCA为等腰三角形时，∠PAC的度数为75°或30°．

点评 本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握解直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键．