Question

【题目】如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在BC边上(不与点B、C重合)．

第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；

第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；

依此操作下去…

(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为　 　，求此时线段EF的长；

(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH．

①请判断四边形EFGH的形状为　 　，此时AE与BF的数量关系是　 　；

②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）等边三角形，EF=；（2）①正方形，AE=BF，②y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4），y的取值范围为：8≤y＜16．

【解析】

（1）由旋转性质，易得是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出EF的长；

（2）①四边形EFGH是正方形；利用三角形全等证明AE＝BF；

②求面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范围．

解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF＝DF＝DE，则△DEF为等边三角形．

在Rt△ADE与Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）

∴AE＝CF．

设AE＝CF＝x，则BE＝BF＝4﹣x

∴△BEF为等腰直角三角形．

∴．

∴．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+AD2＝DE2，即：，

解得：，（舍去）

∴．

DEF的形状为等边三角形，EF的长为．

（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE＝BF．理由如下：

依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M．

由旋转性质可知，EF＝FG＝GH＝HE，

∴四边形EFGH是菱形，

由△EGM≌△FHN，可知EG＝FH，

∴四边形EFGH的形状为正方形．

∴∠HEF＝90°

∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，

∴∠1＝∠3．

∵∠3+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，

∴∠2＝∠4．

在△AEH与△BFE中，

∴△AEH≌△BFE（ASA）

∴AE＝BF．

②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，

∴BF＝CG＝DH＝AE＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝4﹣x．

∴．

∴y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4）

∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，

∴当x＝2时，y取得最小值8；当x＝0时，y＝16，

∴y的取值范围为：8≤y＜16．

故答案是：（1）等边三角形，；（2）①正方形，AE=BF，②y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4），y的取值范围为：8≤y＜16．