若关于x的方程-2x+m$\sqrt{2017-x}$+4020=0存在整数解.则正整数m的所有取值的和为15．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．若关于x的方程-2x+m$\sqrt{2017-x}$+4020=0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为15．

分析由题意m=$\frac{2x-4020}{\sqrt{2017-x}}$，令y=$\sqrt{2017-x}$，则x=2017-y²，可得m=$\frac{2（2017-{y}^{2}）-4020}{y}$=$\frac{14}{y}-2y$，由m是正整数，y≥0，推出y=1时，m=12，y=2时，m=3，由此即可解决问题．

解答解：由题意m=$\frac{2x-4020}{\sqrt{2017-x}}$，令y=$\sqrt{2017-x}$，则x=2017-y²，
∴m=$\frac{2（2017-{y}^{2}）-4020}{y}$=$\frac{14}{y}-2y$，
∵m是正整数，y≥0，
∴y=1时，m=12，
y=2时，m=3，
∴正整数m的所有取值的和为15，
故答案为15．

点评本题考查无理方程、换元法、正整数等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

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16．下列运算正确的是（　　）

A．

5x²•x³=5x⁵

B．

2x+3y=5xy

C．

4x⁸÷2x²=4x⁴

D．

（-x³）²=x⁵

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17．探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P₁P₂=$\sqrt{{{（{{x_2}-{x_1}}）}^2}+{{（{{y_2}-{y_1}}）}^2}}$他还利用图2证明了线段P₁P₂的中点P（x，y）P的坐标公式：x=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，y=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$．

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
运用：（2）①已知点M（2，-1），N（-3，5），则线段MN长度为$\sqrt{61}$；
②直接写出以点A（2，2），B（-2，0），C（3，-1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：（-3，3）或（7，1）或（-1，-3）；
拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=$\frac{4}{3}$x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．

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14．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=2．

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1．

如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若AF=1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．

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11．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=$\frac{1}{2}$BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为4．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2$\sqrt{3}$，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．