Question

如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合．（在图3至图6中统一用F表示）

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A₁F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB₁交DE于点H，请证明：AH﹦DH．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，分析可得：图形平移的距离就是线段BF的长，进而在Rt△ABC中求得BF=5cm，即图形平移的距离是5cm；
（2）在Rt△EFD中，求出FD的长，根据直角三角形的性质，可得：FG=FD，即可求得FG的值；
（3）借助平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，容易证明．
解答：解：（1）图形平移的距离就是线段BF的长，
又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30°，
∴BF=5cm，
∴平移的距离为5cm；

（2）∵∠A₁FA=30°，
∴∠GFD=60°，∠D=30°，
∴∠FGD=90°，
在Rt△EFD中，ED=10cm，
∵FD=，
∴FG=cm；

（3）△AHE与△DHB₁中，
∵∠FAB₁=∠EDF=30°，
∵FD=FA，EF=FB=FB₁，
∴FD-FB₁=FA-FE，即AE=DB₁，
又∵∠AHE=∠DHB₁，
∴△AHE≌△DHB₁（AAS），
∴AH=DH．
点评：本题是一道全等三角形的判定、旋转的性质、平移的性质和直角三角形的性质结合求解的综合题．考查学生综合运用数学的能力．